展開と因数分解に関する難問を現役高校生が網羅してみたep2

こんにちは。Daddyです。

前回に引き続き、展開と因数分解に関する問題を総まとめしました。今回は文章題が中心です。

問題の難易度設定はやや高め。定期テストとかで出題されるものよりワンランク難しいものと思ってください。$\spadesuit$のマークがついている問題はさらにレベルが高いです。

『問題集の解説、わかりにくくて結局勉強できないんだよなー』っていう人はぜひ最後まで問題を解いてみてくださいね。手を動かすことが何より大事です。

『前回の記事ってなんやねん』っていう人はコチラ。

展開と因数分解に関する難問を現役高校生が網羅してみたep1

展開と因数分解に関する問題をまとめました。難易度は定期テストとかで出題されるものより高めです。『問題集の解説、わかりにくくて勉強できないんだよなー』っていう人はぜひ最後まで問題を解いてみてくださいね。手を動かすことが何より大事です。

Contents

係数を比較する問題
整数に関する証明問題
図形に関する証明問題
まとめ

Daddy

Frontiesta代表。大阪出身。
塾が苦手で、鉄緑会を辞めて新たな教育プラットフォームを立ち上げた。
パソコン使用歴は2年くらい。
あだ名は"パパ"や"ダディー"で、生粋のいじられキャラ。

係数を比較する問題

問題1

$\spadesuit$以下の文章は太朗さんと花子さんの会話である。これを読んで、あとの問に答えよ。

太朗と花子の会話（問題文の一部）

太朗：あ！花子が宿題汚してやがる〜！これは先生に報告だー。花子：えっなんで汚れてるの？太朗、お前またわざと汚したでしょ！太朗：ごめんて。花子がトイレに行ってる間に、ミートスパゲッティ食べてて、それが飛んじゃったんだよ。花子：もうこの汚...

問：花子さんの問題と解答を復元せよ。途中式を書く必要はない。

ヒント

2人の会話は、ほとんどが無駄な内容ですが、結構重要な言葉も隠れてたりします。重要な内容だけを切り抜いて理解する読解力も今後必要になってきます。

太郎さんの『$a, b, c$を使ったまま問題解いてみな』にはどういった意図が隠されているのでしょうか。一度、左辺を展開してみませんか？

ちなみに、この問題は高校数学の『恒等式』に当たる単元ですが、誘導をつけることで普通に問題に出てくることもあります。チャレンジ精神は大切です。

解答

$$(左辺)=4ax^2-(3a-4b)x-3b$$

$$(右辺)=28x^2-cx-15$$

$(左辺)$と$(右辺)$は同じ式であるから、$x^2$どうし、$x$どうし、定数どうしで係数を比較して

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4a=28 \\
3a-4b=c \\
3b=15
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

これを解くと、$a=7, b=5, c=1$

よって、$(7x+5)(4x-3)=28x^2-x-15$

整数に関する証明問題

問題2

$\spadesuit$連続する3つの奇数を $a, b, c$ と表す。
$ab+bc+ca+1$は24の倍数になることを証明せよ。

ヒント

$a, b, c$ は連続する奇数であるから、それぞれ$$2n-1, 2n+1, 2n+3$$と表せる。こうすることで、3文字だったものが$n$の1文字に減り、証明がラクになります。

解答

$a, b, c$ は連続する奇数であるから、それぞれ$$2n-1, 2n+1, 2n+3$$と表せる。

\begin{flalign}
&\quad ab+bc+ca+1& \nonumber \\
&=(2n-1)(2n+1)+(2n+1)(2n+3)+(2n+3)(2n-1)+1& \nonumber \\
&=(4n^2-1)+(4n^2+8n+3)+(4n^2+4n-3)+1& \nonumber \\
&=12n^2+12n& \nonumber \\
&=12n(n+1)& \nonumber \\
\end{flalign}

ここで、連続する2整数の積は2の倍数であるから、$n(n+1)$は2の倍数であり、$12n(n+1)$は24の倍数となる。

したがって、連続する3つの奇数 $a, b, c$ において、$ab+bc+ca+1$は24の倍数になる。

（証明終）

図形に関する証明問題

この問題は、正確には展開や因数分解とは関係ありませんが、多くの教科書でこの単元として取り上げられているため、掲載します。

難易度は高くありませんが、今後文字だらけの式を扱う場面が増えてくるので、その練習だと思って解いてみましょう。

問題3

中心角の大きさが$a^{\circ}$で、半径が$r$、面積が$S$、弧の長さが$l$のおうぎ形がある。このとき、次の等式が成立することを証明せよ。$$S=\displaystyle \frac{1}{2}lr$$

ヒント

よく考えると、中心角と半径が与えられれば、面積や弧の長さは求めることができます。$S, l$ という2つの文字を $a, r$ で表してみましょう。おのずと答えが見えてくるはずです。

解答

\begin{split}
(左辺)&=\pi r^2 \times \displaystyle \frac{a}{360} \\
(右辺)&=\displaystyle \frac{1}{2}(2\pi r \times \frac{a}{360})\times r \\
&=\pi r^2 \times \displaystyle \frac{a}{360}
\end{split}

$(左辺)=(右辺)$より、題意は示された。

（証明終）

$S=\displaystyle \frac{1}{2}lr$は非常に有名な公式です。角度を使わずに面積を表せる美しい公式ですので、ぜひ覚えてください。頻出です。