【中一数学・正負の数】マイナスについてマスターしよう～絶対値、数の大小編～

こんにちは！shuです。

今回は、マイナスを含めた数の大小を学んでいきましょう。

前回の軽い復習です。０より大きい数を正の数、０より小さい数を負の数というんでしたね。

ところで２と３のどちらが大きいかと聞かれればみんな３と答えられるはずです。

そこで問題です。-2と-3では、どちらが大きい数ですか？

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答えは-2です。意外と-3と答えてしまった人も多いのではないでしょうか?

よく考えれば、-2℃と-3℃の気温では-2℃のほうが少し暖かいので-2のほうが大きいとわかります。

ですが少しややこしいと思いますので、これから詳しく見ていきましょう！

絶対値

数の大小のお話をする前に、非常に重要な新しい考え方をご紹介します

それが、絶対値といわれるやつです。そこまで難しくないので安心してください。

まず、数直線を下に描きました

そうです。小学校で出てきた数直線です。

しかし、一か所小学校の時と大きく違う点がありますね。

そうです、０の左に負の数があります。この数直線を使って、絶対値の説明をしていきます。

では参りましょう、絶対値とはズバリ、ある数字の０からの距離のことを表します。

中学生の間は、絶対値は数直線上で考えることで理解することができます。

実際に見ていきましょう。

例として、５の絶対値と-4の絶対値を見ていきます。

まずは、５の絶対値です。

５は数直線において、０からの距離が５（５マス空いているため）ですので、そのまま５の絶対値は５ということになります。簡単ですね！

　

つぎに、-4の絶対値です。これは、-4は数直線上において、０から４マス左の点が-4を表します。

すなわち、０から-4までの距離はと聞かれれば、０から左に４マス数えることができるので、距離は４となります。

したがって、-4の絶対値は？と聞かれれば、答えは４ということになります。

正の数の場合、絶対値はそのままその数になります。

ですが負の数の場合だと、マイナスを取り払って答える必要があります。

　

絶対値を聞かれたときは、符号を取り払って答えると間違いなく正解になります。

例えば４,+7,-5,-20の絶対値は？と聞かれたら、左から順に4,7,5,20となり、確かに符号だけを取っ払ってすべて正の数にして答えればよいのがわかると思います。

ですが、あくまで絶対値とは距離のことです。

慣れるまでは、数直線を書くか頭の中でイメージしてから、答えるようにするほうが今後のためになるでしょう。

　

それと一つ注意なのですが、絶対値を答えるときは、特に指定がない限りはｍ（メートル）やｋｍ（キロメートル）などの単位は必要ありません。

単位をつけるのは基準となる長さが指定されている時のみで、今回は１マスが何メートルかは指定されていませんから、単位をつけずに答えてください。

まず、絶対値の問題で単位をつけて答えさせる問題は99.9%あり得ませんから安心してください。

　

では、軽く練習問題をやってみましょう

数の大小

さあここからが本題です。マイナスも含めて、数の大小比較ができるようにしましょう

マイナスの大きさと言われれば、いまいちピンとこないかもしれません。

そこでまた数直線の登場です。

数直線上において、右側に行けば行くほど数は大きくなります。

数直線のメモリが、右に行くたびに１を足していっていると考えれば当たり前な気がします。

このように、数学は数の大小のように頭ではイメージしずらいことも、数直線のように図で考えると明確になることがあります。

　

そして絶対値の話が、ここで活きてきます。いくつかのパターンに分けて理解していきましょう。

①正の数同士の大小

例えば、３と４だったら４のほうが大きいです。

これは小学校の時からやっている超基本的な話です。単純に二つの数の大小を比べましょう。

②正の数と負の数の大小

例えば、３と-4だったら３のほうが大きいです。

これは、たとえどんな数でも正の数のほうが負の数よりも大きいからです。

そもそも正の数は０より大きい数、負の数は０より小さい数でしたね。

ですから、正の数のほうが負の数より大きいのはごく当たり前のことなんです。

③負の数同士の大小

ここが一番重要です。-3と-4を例にとって、どちらが大きいかを考えてみてください。

答えは-3のほうが大きいです。結論から言うと、負の数の大小は正の数の時と逆転します。

これはどういうことか、数直線を用いて理解していきましょう。

前提として、数直線上において右に行けば行くほど数は大きくなります。

さて、負の数の大小を考えるとき、役に立ってくるのが先ほど説明した絶対値です。

絶対値とは０からの距離のことでしたね。

一般に、負の数同士であれば絶対値が大きい数のほうが小さい値になります。

数直線上において、負の数の絶対値が大きいということは、０から左側に、より遠くに位置するということになります。つまり、０を基準として、より左側にいるわけです。

数直線上において、その値が右側にあればあるほど大きな数ということになりますから、逆に０からみてより左側にある数、すなわち絶対値が大きい負の数は、それだけ小さい数になるのです。

このように理屈でおぼえるのが良いですが、感覚的に正の数の時と反対になる、と覚えておけば何とかなります。

　

一応このようにパターンに分けて説明してきましたが、結局頭の中で、数直線上でそれぞれの数がどこにあるかがイメージできれば正の数、負の数関係なく理解することができます。

そのために、絶対値の理解がとても重要になってくるのです。

ここでつまずいてしまうと、今後悲惨な目にあってしまうのでくどく、丁寧に説明してきました。

それでは、実際に問題を通して頭の中を整理していきましょう。

ちなみに、なぜここまで数直線を考えさせるかというとちゃんと理由があります。

ある数の大きさを把握するのに、図を用いてその位置から視覚的に理解することは、今後の座標という考え方につながっていきます。

さらに、絶対値を距離だと強調するのはかなり後にやる分野で、非常に重要な概念になってくるからです。

数学は積み重ねの教科ですから、初めのうちに本質を理解しておくと後々の学習がスムーズに行くことがあるのです。

ですから今のうちに、しっかりと本質をつかんでいってください。

まとめ

　絶対値とは、数直線上における０からの距離を表す値で、正の数であれば絶対値が大きければ大きいほど、負の数であれば絶対値が小さければ小さいほど数は大きくなります。

さて、マイナスの大小をマスターしたところで次はいよいよマイナスを含む計算に入ります。

ではさようなら！