こんにちは。
Frontiesta代表のDaddyです。
今回のテーマは、整式のわり算です。
数学Ⅱ『式と証明』の単元になりますね。
実は今回の単元では、筆算をするだけで全ての問題が解けてしまいます。
ちょっとした裏技も紹介！
それでは、Let’s go!
復習：わり算とは
まず、わり算について軽く復習しておきましょうか。
まず、\(32\) を \(6\) で割り、商と余りを式で表してみましょう。
そんなの簡単！
\(32 \div 6 = 5 あまり 2\) だね。
高校数学では、それはアカン。余りの表し方が、あんまり良うないな。
じゃ、どうやって表すのさ？
\(32=6 \times 5 +2\) で表す。
何それ？
ただの検算の形じゃん。
でも、数式の形を『四則演算』だけで表記できているのがええねん。
あと、高校数学では \(\div\) を滅多に使わない、ということも覚えておきましょう。
それでは、数学っぽい表記でまとめておきます。
数式が難しそうでも、意味がわかっていればよし。
高校数学では、わり算の表記は次のようにする。$$A=BQ+R$$
意味：AをBでわり算する。このとき、商はQで、余りはR。
整式とは
それでは、整式という言葉を勉強しましょう。
今から2つの具体例を出すので、その違いを見抜いてください。
いきなりですが、まず整式ではないものの具体例を見ましょう。
$$\pi x^2 + \sqrt{7x} – 3$$
$$2^x + \log x + x^e$$
え？なんか知らない記号あるんだけど。
その感覚、めっちゃ大事やで。ひとまず先に行こうか。
次に、整式の具体例を見ます。
$$4x^2+7x-3$$
$$12x^4+9x^3-x^2+x$$
$$x^8+x^5-2$$
違い、わかった？
んー、整式の方がキレイかな？
いい線いってるで。
整式とは、要するに多項式のこと。
\(\sqrt{x}\) のような複雑なカタチをしていません。
それでは、一応数学っぽい表記でまとめます。
整式は、次のように表される。（スクロール可能）
\(a_{n+1} x^n + a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_3 x^2 + a_2 x^1 + a_1 \)
ただし、\(n\) は任意の自然数であり、\( \{a_n\} \) は実数である。
意味わかんない！という人もいるでしょうが、数式は覚えなくて構いません。
ひとまず先にいきましょう。
整式のわり算のやり方
それでは本題。
整式をわり算していきましょう。
ちなみに、高校数学で扱う整式は、ほとんどが整数係数です。
まずはウォームアップ。
\(2x^5+x^4-5x^3+7x-9\) を \(x-2\) で割る。
商と余りをわり算の形で表せ。
ただし、商は \(2x^4+5x^3+5x^2+10x+27\) で、余りは \(45\) であることはわかっている。
さっき、わり算を検算の形で表すことを勉強したね。
\(A=BQ+R\) の形で表せば良いので、
\(2x^5+x^4-5x^3+7x-9=(x-2)(2x^4+5x^3+5x^2+10x+27)+45\)
（スクロール可能）
それでは、次の問題を見ていきましょうか。
\(2x^4-13x^3+12x+19x-15\) を \(x^2-4x-5\) で割った時の、商と余りを求めよ。
どうやればいいんだろう？
まず、ふつうのわり算の筆算はどうやったか覚えとる？
百の位、十の位、一の位っていう感じで位を縦に揃えて計算したなあ。
整式でも似た感じ。\(x^3\) の位、\(x^2\) の位、\(x\) の位、\(1\) の位と揃えていくんや。
こんな感じです。
ここで一つ裏ワザを伝授。
ズバリ、\(x\) と書くのを省略せよ！ということ。
係数だけで筆算します。
こんな感じです。
位を縦に揃えていくのですから、左から順に1の位、\(x\) の位、\(x^2\) の位、…となるのは当たり前。
いちいち \(x\) と書かずに、係数だけを筆算で書いていきましょう。
さあ、残りは筆算するだけやな！
でも、どうやって計算するの？ちょっとだけ普段と違うし。
注意すべきは、繰り上がりはないことと、マイナスを忘れないこと。
一度画面をスクロースするのをやめて、手元の紙に筆算してみてください。
こういった計算になるはず。
普通のわり算と同じように、割ることができるイチバン大きな数を商に持ってくるようにしましょう。
じゃないと、商が小さくなってしまい、余りが大きくなってしまいます。
難しそうなこと言ってますが、要するに限界まで割れ！ということですね。
さて、答えは？
わかった！
商は2 -5 2で、余りは2 -5だね！
ちゃうちゃう。それは \(x\) の係数だけで答えてしもうてる。
そっか。位を確認して \(x\) の式に直さないとね。
ということで、商は \(2x^2-5x+2\) で、余りは \(2x-5\) になります。
\(x\) を答えに含めるようにしましょう。
練習問題
それでは練習問題。
頑張って10問ご用意いたしました。
全て解けば、整式の除算は完全にマスターできます。
筆算は省略しますが、ぜひ自力で頑張ってください！
次の1~20について、AをBで割った時の商と余りを求めよ。
- A：\(15x^3 -24x^2 -23x +60\)
B：\(5x +7\) - A：\(21x^3 +41x^2 +4x -10\)
B：\(7x+9 \) - A：\(64x^3 -81x +4\)
B：\(8x-9 \) - A：\(6x^4 +9x^3 -17x^2 +45x +22\)
B：\(3x^2 -6x +8\) - A：\(25x^4 +10x^3 +80x^2 +21x +71\)
B：\(5x^2 +2x +7\) - A：\(27x^4 -93x^3 +29x^2 +74x \)
B：\(3x^2 -8x \) - A：\(28x^4 -28x^3 -7x^2 -20x -19\)
B：\(7x^2 -7x -7\) - A：\(12x^3 +5x^2 -8x -2\)
B：\(8x +2\) - A：\(2x^4 +6x^3 +4x^2 -1 x +1\)
B：\(2x^2 +8x +3\) - A：\(x^6 -1 \)
B：\(x-1 \)
ここからは解答です。
プラスマイナスを間違っていないか、係数が0のときも位取りを忘れていないか、などに注目しながら、見直してください。
解答は、Pythonでプログラムして自動作成しました。
- 商：\(3x^2 -9x +8\)
余り：\( 4\) - 商：\(3x^2 +2x -2\)
余り：\(8 \) - 商：\(8x^2 +9x \)
余り：\(4 \) - 商：\(2x^2 +7x +3\)
余り：\(7x -2\) - 商：\(5x^2 +9 \)
余り：\(3x +8\) - 商：\(9x^2 -7x -9\)
余り：\(2x \) - 商：\(4x^2 +3 \)
余り：\(x+2 \) - 商：\(\dfrac{3}{2}x^2 +\dfrac{1}{4}x -\dfrac{17}{16}\)
余り：\(\dfrac{1}{8} \) - 商：\(x^2 -x +\dfrac{9}{2}\)
余り：\(-34x -\dfrac{25}{2}\) - 商：\(x^5 +x^4 +x^3+ x^2+ x +1 \)
余り：\(0 \)
まとめ
いかがだったでしょうか？
整式の除算は、数学Ⅱの超キホン的な内容なので、ここでつまづくと大変です。
皆さんの演習時間を増やせるように、問題をたくさん用意しておいたので、何度も復習してください。
それではっ！
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