中学数学の三平方の定理

三平方の定理をご存じだろうか。

中学数学、図形の分野で最も難しく、最も楽しい定理。

この定理自体は簡単で、覚えやすいので早いうちから覚えていて損はない。

今回は、そんな三平方の定理をわかりやすく解説する回。

三平方の定理とは？

三平方の定理とは上の図のような直角三角形において、

　　　　　　　$$c^2 ＝ a^2 + b^2$$

の関係が成り立つことを言います。

また、古代ギリシアの哲学者であったピタゴラスという人

が発見した定理なので、「ピタゴラスの定理」とも呼ばれています。

三平方の定理の証明

今回は中学校で習う“相似”を使った証明をします。

　

証明）

直角三角形ABCの頂点Aから辺BCに下した垂線の足をHとおく。すると、

2組の角がそれぞれ等しいので、

　　$$\triangle ABC \backsim \triangle HBA \backsim \triangle HAC・・・①$$

ここで分かりやすくするために相似の三角形を下に整理した。

①よりこれらの三角形の相似比は、

　　$$a　:　b　:　c$$

よって、これらの三角形の面積比は、

$$a^2　:　b^2　:　c^2　・・・②$$

そして、

　　$$\triangle ABC　=　\triangle HBA　+　\triangle HAC　・・・③$$

②、③より

　　$$a^2　=　b^2　+　c^2$$　

証明完了

　

本来はさらに多くの証明方法が存在しますが、今回はあくまで

ざっくりとしたイメージをつかんでほしいので、

興味があったら調べてみてください。

問題演習

では、実際の問題を通してより理解を深めましょう。

まとめ

最後に、三平方の定理の定義式のおさらいです。

上の図の直角三角形において、

$$a^2　+　b^2　=　c^2$$

の関係が成り立つことを言います。

三平方の定理は、図形の問題で使わない問題はない

というほどよく使われる定理です。

これを機に完璧に自分のものにしましょう。

下はおすすめの問題集です。参考程度にどうぞ。