解の配置条件ってなんだろう？2次関数を根本理解！

こんにちは。

数学大好きDaddyです。

今回は2次関数、特に解の配置条件を扱っていきます。

残念ながら、高校数学でイチバン最初につまづいてしまう単元は、この『2次関数』です。

でも、原因は単純明快。

ズバリ、正しくグラフを作れているかどうかで決まります。

問題演習をたくさんしていく中で、身につけていきましょう！

Contents

2次方程式を復習してみよう
1. 平方完成
2. 判別式
解の配置条件とは？
なぜ解の配置条件を勉強するのか？
まとめ

Daddy

Frontiesta代表。大阪出身。
塾が苦手で、鉄緑会を辞めて新たな教育プラットフォームを立ち上げた。
パソコン使用歴は2年くらい。
あだ名は"パパ"や"ダディー"で、生粋のいじられキャラ。

2次方程式を復習してみよう

この章は、解の配置条件を勉強するために必要な、2次方程式の復習になります。

数学が得意な方は、ざっと目を通して、次の章に進んでいただいて構いません。

平方完成

平方完成は、次のように2次方程式を変形することです。

例えば、こんな感じ。

\begin{eqnarray}
2x^2-8x+9&=&0\nonumber\\
\iff 2(x-2)^2+1&=&0\nonumber
\end{eqnarray}

$ax^2+bx+c=0$ という至ってシンプルな2次方程式のカタチを、$a(x-p)^2+q=0$ という2乗のカタチを無理やりつくったような感じですね。

めちゃくちゃ使う変形なので、覚えていない方は早速復習しておきしょう。

平方完成とは？裏ワザとともに原理をわかりやすく高校生が解説！

こんにちは。Daddyです。今回は『平方完成』という、いわば数学のテクニックのようなものを伝授します。やること自体は『平方完成』という名前の通りなのですが、なんせ難しそうな名前をしていて、とっつきにくいですよね。ただ、2次方程式の解の...

判別式

判別式は、2次方程式が解をもつかどうかを調べる式のことです。

2次方程式の解の公式を見てみましょうか。

下の式で、赤く色づけられているところが判別式です。

$$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\color{red}{b^2 -4ac}}}{2a}$$

ズバリ、ルートの中身です。

ルートの中身がマイナスになってはいけないのはご存知の通り。

マイナスになったら解なしですし、プラスになったら2つの解を持ちます。

0になったら、どうなるでしょうか？

$$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}=-\dfrac{b}{2a}$$

$\pm$ が消えたことから、1つの解をもつことがわかりますね。

$b^2-4ac$ のプラス、マイナス、0を判別すれば、解をいくつ持つのか調べられるのです。

解の配置条件とは？

解の配置条件は、いろんな呼び方があり、『解の存在範囲』という呼び方も一般的です。

結局、問題が解けたらどうでも良いのですけどねw

『解の配置条件』の問題といっても、いろいろあります。

今回は超王道の問題を見ていくことにしましょう。

例題を見てみよう

例題

$x$ についての2次方程式 $x^2-2ax-2a+3=0$ は $0 \leqq x \leqq 2$ で解を2つもつ。

このとき、 $a$ の範囲を求めよ。

解き方、わかりますか？

超超超天才でない限り、初見で解くのは難しいでしょう。

なぜなら、とある3つの条件を組み合わせて解く必要があり、とても複雑だからです。

でもご安心を。

グラフを作れば理解できること間違いなし。

その辺は後で解説します。

ひとまず、$f(x)=x^2-2ax-2a+3$ とおいて、以下は $f(x)=0$ と2次方程式を省略しましょう。

式は短くてシンプルな方が見やすいのでね。

Daddy

ほな、グラフ作ってこか。

ということで、$f(x)$ を平方完成します。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&x^2-2ax-2a+3\nonumber\\
&=&(x-a)^2-a^2-2a+3\nonumber
\end{eqnarray}

正しく平方完成できましたか？

そして、$y=f(x)$ つまり $y=(x-a)^2-a^2-2a+3$（平方完成した後の式）のグラフについて考えていけば良さそうです。

Daddy

$y=(x-p)^2+q$ の軸は、どうやって表すか、覚えてるか？

Zutti

確か、平方完成したカッコの中身、$p$ を使うんだったよね。

$x=p$ が軸かな？

Daddy

合うてるで。

てことは、今回のグラフやと、軸は $x=a$ やな。

それでは、グラフを作っていきましょう。

$a$ の値が決まっていないので、問題文にあったグラフを、1つだけ作ればひとまずOK。

こんな感じですね。

$0 \leqq x \leqq 2$ で2解をもつ、というのが問題文の条件にありましたが、要するに、0と2の間で交点が2つあれば良いということですね。

Zutti

え？なんでだっけ？

Daddy

$y=f(x)$ のグラフで、$y=0$ になる時を考えんねん。

$0=f(x)$ になって、これが2次方程式になってるやろ？

Zutti

あとは、$y=0$ っていうグラフを描くと、x軸そのものだったね。

交点を見ればいいのは、そういうことか！

あとは、このようなグラフを描くことができる $a$ の範囲を求めれば良さそうですね。

それでは、次の3つの条件を考えてみましょう。

3つの条件

判別式
軸
端点

ゆっくり解説していくので、まだ覚えたりする必要はありません。

ここから長いですが、しっかりとついてきてください！

1つ目：判別式

問題文の条件から、$f(x)=0$ という2次方程式が2つの解を持たなくてはならないんでしたよね。

2つの実数解を持つ、ということは…？

Zutti

判別式が0より大きい！

間違ってはいないのですが、判別式が $b^2-4ac$ と表されることはまずありません。

『$a, b, c$ ってなんの数やねん』と突っ込まれてしまうからです。

そのため、ふつうは $D$ を使って表します。

計算してみましょう！

\begin{eqnarray}
D&=&(-2a)^2-4\cdot1\cdot (-2a+3)\nonumber\\
&=&4a^2+8a-12\nonumber\\
&\gt&0\nonumber\\
\end{eqnarray}

$a$ だけの式になったので、範囲が求められそうですよ！

この調子で不等式を解きましょう。

\begin{eqnarray}
4a^2+8a-12 &\gt& 0\nonumber\\
a^2+2a-3 &\gt& 0\nonumber\\
(a-1)(a+3) &\gt& 0\nonumber\\
\nonumber\\
\therefore \ a \lt -3, 1 \lt a \nonumber
\end{eqnarray}

この結果、どこかにメモしておいてください。

2つ目：軸

Daddy

グラフ描いたとき、軸の位置はどの辺にあった？

Zutti

そうだね…

大体だけど、0と2の間にあるかな。

Daddy

そこがめっちゃ大事。

0や2の外側に軸があると、2つの解が0と2の間に入らなくなんねん。

そう。

軸の位置が実はめちゃくちゃ大事です。

今回の軸は $a$ ですよね。

ということで、$0 \lt a \lt 2$

これもメモしておいてください。

3つ目：端点

最後に、端点を調べます。

端点というのは、$x$ の範囲の端っこのこと。

Daddy

今回は $0 \leqq x \leqq 2$ なので、0と2のことやな。

なぜ端点を調べなくてはならないのか。

実は、1つ目の条件も、2つ目の条件も、どっちも満たしていても、まだ $0 \leqq x \leqq 2$ で2つの解を持たない場合があります。

それが、次のような時。

Zutti

こんなの言いがかりだ！

このような例を自力で見つけるのは大変です。

ですが、解の配置条件では端点を調べるというふうに覚えておけば、次からは解けるようになります。

端点を調べる、というのは、次のようなこと。

$f(0)$ も、$f(2)$ も、どちらも0またはプラスなんですよね。（グラフでは0の場合をかけていませんが、ご了承ください）

必ずx軸上か、それより上側に位置しています。

これを数式にして、$a$ について解きましょう。

$x=0$ や $x=2$ は、平方完成する前の式 $f(x)=x^2-2ax-2a+3$ に代入すると計算がラクですよ。

\begin{eqnarray}
& \quad &
\left\{
\begin{array}{l}
f(0) \gt 0 \\
f(2) \gt 0
\end{array}
\right.\notag
\nonumber\\
\nonumber\\
&\Leftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{l}
0^2-2a \cdot 0-2a+3 \gt 0 \\
2^2-2a \cdot 2-2a+3 \gt 0
\end{array}
\right.\notag
\nonumber\\
\nonumber\\
&\Leftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{l}
-2a+3 \gt 0 \\
-6a + 7 \gt 0
\end{array}
\right.\notag
\nonumber\\
\nonumber\\
&\Leftrightarrow&
\left\{
\begin{array}{l}
a \lt \dfrac{3}{2} \\
a \lt \dfrac{7}{6} \\
\end{array}
\right.\notag

\end{eqnarray}

$\therefore \ a \lt \dfrac{7}{6}$