素因数分解～素数は合成数の隠し子～

こんにちは、popoikです。

今回は素因数分解について説明します。

素数についてよくわからない方は、私が以前書いた記事を見てください↓↓（露骨な宣伝）

意外とわかりづらい素数について、見つけ方から詳しく説明します。素数をすべての数のキホンであるいえます。素数とは、2以上の自然数で、正の約数が１と自分自身のみである数のこと。ただし1は含みません。簡単に言えば、２つしか約数を持たない数のこと...

Contents

素因数分解とは
素因数分解の筆算
素因数分解の鉄則
まとめ

popoik

これといった特徴のないただの中学生だったが、受験勉強を通して数学が覚醒してしまったらしい。日常生活では絶望的なレベルの怠惰さで他者を圧倒している…かもしれない。自己紹介の内容募集中‼

素因数分解とは

素因数分解とは、Wikipediaによると…

素因数分解とは、ある正の整数を素数の積の形で表すことである。

素因数分解には次のような性質がある。

任意の正の整数に対して、素因数分解はただ1通りに決定する（素因数分解の一意性）。
（以下略）

Wikipediaより

わかりにくいですが、簡単に言えば、

「ある自然数を素数だけのかけ算で表してあげること」です。

例）$57＝7×19$　$192＝2^6×3$

このような形にしてあげることが素因数分解です。

ちなみに　「7、19は57の素因数」「2、3は192の素因数」と言うことができます。

素因数分解の筆算

素因数分解には割り算に似た筆算のやり方があります。今回は30を例に筆算をします。

① 素因数分解をしたい数字を書き、割り算の筆算の書き出しの上下逆の形で囲んであげます

\begin{array}{r} \phantom{0}\underline{)\phantom{0}30} \\[-3pt] \end{array}

② 30は5で割り切れることがわかります。そのため5を左側に書いてあげて、$30 \div 5=6$の答えである6を下に書きます。

\begin{array}{r} 5\underline{)\phantom{0}30} \\[-3pt] \phantom{0}\underline{)\phantom{00}6} \\[-3pt] \end{array}

③ 同様に、6は2で割り切れることがわかります。そのため2を左側に書いてあげて、$6 \div 2=3$の答えである3を下に書きます。

\begin{array}{r} 5\underline{)\phantom{0}30} \\[-3pt] 2\underline{)\phantom{00}6} \\[-3pt] \phantom{000}3 \end{array}

④ 3は素数であるためこれで筆算はおわりです。左側の5, 2と下側の3が答えになります。$$A. 30＝2×3×5$$

練習問題

次の数字を素因数分解せよ。

$6　36　323$

最後の問題は少し難しいと思います。

答え

$6＝2×3$
$36＝2^2×3^2$
$323=17×19$

素因数分解の鉄則

素因数分解には楽に計算するための鉄則があります。その鉄則とは

鉄則

①「5→2→3→(11→7)→その他の素数」の順番で割る

② 素因数分解したい数を面積とする正方形をつくる。この時、正方形の一辺の長さより小さい素数で割り切れなければ、素数であると判定できる。

例えば…　167が素数であるかどうかを調べる。
面積が167に最も近い正方形を考えよう。$13 \times 13 = 169$より、一辺の長さが13の正方形で考えればよい。
13以下の素数は、$2, 3, 5, 7, 11, 13$
167は、2でも、3でも、5でも、7でも、11でも、13でも割れない。
だから167は素数。

理由

①特徴的な素数から順番に割っていきます。
5は一の位が0か5の時、2は一の位が偶数の時にのみ割り切れるからです。
また、3はそれぞれの位の数字の和が3の倍数の時に割り切れます。

② 今はわからなくても大丈夫。（平方根の単元でわかります）

これ以外にも、「かんたんな問題を覚えておく」「和と差の積に因数分解する」など、すばやくラクに素因数分解をする方法もありますが、今はこの2つを知っておくだけで十分です。

それを踏まえて、しっかり復習しましょう。