中学数学『確率』を現役高校生が網羅してみた。

2枚の4を区別するため、それぞれA, Bとする。

全事象（4枚のカードの全ての引き方）は、
\(6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360\)（通り）

4けたの整数が4の倍数であるのは、下2けたが4の倍数のときである。

⑴ 下2けたに0を含む場合
下2けたは\((0 A)(0 B)(2 0)(A 0)(B 0)\) の5通り
上2けたは、すでに使っている0を含むことがないので、残りの4枚を任意に（好きなように）並び替えて良いから、\(4 \times 3 = 12\)（通り）
よって、4けたの並べ方は\(5 \times 12 = 60\)（通り）

⑵ 下2けたに0を含まない場合
\((1 2)(2 A)(2 B)(3 2)(A B)(B A)\) の6通り
千の位に入れてもよいのは、下2けたと0を除く3通り。
百の位に入れてもよいのは、使っていない3つの整数全てだから、3通り。
よって、4けたの並べ方は\(6 \times 3 \times 3 = 54\)（通り）

⑴と⑵は ※互いに排反 だから、求める確率は
\(\displaystyle \frac{60+54}{360} =\) \(\displaystyle \frac{19}{60}\)

起こりうるすべての取り出し方は
3×3×3=27(通り)

和が14以上になる取り出し方は、状況を整理しようから　3通り

よって3枚のカードの和が14未満になる確率は和が14以上にになる確率の余事象だから、

\(\displaystyle 1－\frac{3}{27} =\)\(\displaystyle\frac{8}{9}\)

2つの玉の取り出し方は(A,B),(B,A)のようにすべての組み合わせが2回ずつ現れるから
\(\frac{5×4}{2} =10\)(通り)

(1)赤玉のみ取り出す場合だから、
\(\frac{3×2}{2} =3\)(通り)
よって答えは、\(\displaystyle\frac{3}{10}\)

(2)白玉のみ取り出す場合だから、
\(\frac{2×1}{2} =1\)(通り)
よって答えは、\(\displaystyle\frac{1}{10}\)

(3)赤玉と白玉1つずつ取り出す場合で、
この時組み合わせが重複することはないから \(3×2=6\)(通り)
よって答えは赤玉のみ取り出す確率だから、
\(\frac{3×2}{2} =3\)(通り)
よって答えは、\(\displaystyle\frac{6}{10}=\)\(\displaystyle \frac{3}{5}\)

(別解)　今回の問題では、「赤玉のみ」「白玉のみ」「赤玉と白玉1つずつ」の3通りの場合がある。(1)、(2)で3つの内2つを求めた。そのため先程の余事象の知識を用いることでより簡単に解くことができる。つまり、

\(\displaystyle 1- \frac{3}{10}-\frac{1}{10}=\frac{3}{5}\)

(4)今回の問題の袋には、黒玉は入っていない。よって確率は \(0\)

2つのサイコロの目の組み合わせは、下の表から36通り。

それらの和のうち、2でも3でも割り切れないのは◯がついた12通り。

\(\displaystyle \frac{12}{36} =\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

3人でじゃんけんをしてあいこになる場合は、「みんな同じ手を出す場合」「みんな違う手を出す場合」の2つある。

皆同じ手を出す場合はグー、チョキ、パーの3通りー(i)

皆が違う手を出す場合は　１人目は、グー、チョキ、パーの３通り。2人目は、1人目が出した手以外の手、つまり2通り。３人目は残った手だから1通り。
よって　3×2×1=6(通り)ー(ii)

3人はそれぞれ3種類の手を持っているから、
3×3×3=27(通り)ー(iii)

(i)、(ii)、(iii)より、3人でじゃんけんしてあいこになる確率は、
\(\displaystyle\frac{3+6}{27}=\)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

これがn-1回連続するから、\(\displaystyle (\frac{1}{3})^{n-1}\)

n回目に勝負がつく。つまり「あいこにならない」ということだから、
\(\displaystyle1-\frac{1}{3}=\)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)

よって、

\(\displaystyle(\frac{1}{3})^{n-1}×\frac{2}{3}=\)\(\displaystyle \frac{2}{3^n}\)