数学強者Daddyです。
今回は複2次式の因数分解を習得していこうや。
English大好きZuttiだぜ。
私国立高校の入試問題でよく見かけるアレね。
発想がイマイチよくわからんのよ。
複2次式のポイントは偶数乗であるということ。
初めて聞いたっていう人にもわかりやすく説明するで。
複2次式ってナニ？
まず、複2次式ってどんな感じの式よ？
教科書見ても、どこにも書かれてないじゃん。
教科書にはそんなムズカシイこと書いてるわけないやん。
複2次式っていうのは『全ての項の次数が偶数の多項式』のこと。
\(x^4-7x^2+9\)がその例で、\(x\)が偶数乗になってる。
なんでわざわざ『複2次式』って名前つけんのさ？
普通の多項式と何にもかわらないでしょ？
ほんなら問題を解いてみたらええやん。
全然違うんやから。
和と差の積をつくる方法
次の式が因数分解できる場合は因数分解をしなさい。できない場合はバツと書きなさい。
(1) \(x^2-7x+9\)
(2) \(x^4-7x^2+9\)
わかったゼ…！
答えはどっちも『バツ』だろ。
ざんね〜ん。(1)は『バツ』で正解やけどな。
(2)は\((x^2+x-3)(x^2-x-3)\)が答え。
いや難しすぎるて〜。
確かに展開したらあってるけど、どう頑張ってもそうは因数分解できんやん！
答えだけみたら訳わからんやろうけど…
コツは、(2乗)-(2乗)のカタチをつくって『和と差の積』に因数分解すること！
ええな？
(1)は因数分解できない。
\(x^2-7x+9=0\)が整数の解を持たないためである。
(2)は複2次式なので、因数分解できる可能性がある。
今回は、\(x^2\)を足して引けば良い。
\(x^4-7x^2+9\)\(+x^2-x^2\)
\(=x^4-6x^2+9-x^2\)
\(=(x^2-3)^2-(x)^2\)（←和と差の積）
\(=\{(x^2-3)+x\}\{(x^2-3)-x\}\)
\(=(x^2+x-3)(x^2-x-3)\)
上の式変形は必ずノートに書き写して、意味を理解してな。
ちょっと待って！
なんで\(x^2\)を突然足して引いたの？
目的は『和と差の積』を作ること。
\(x^2\)は2乗の数やから、引き算したら因数分解しやすいんや。
てことは、\(4x^2\)や\(9x^2\)を足して引く可能性もある？
もちろん、問題によってはそうなるな。
ただ、今回はたまたま\(x^2\)が答えだったってことやな。
\(x^4-6x^2+9\)も\((x^2-3)^2\)って2乗のカタチになるから。
(2乗)-(2乗)のカタチに変形できるように、何度か試す必要があるんだね。
慣れてきたら、定数項（例題1でいえば\(9\)）をみて、
『\((x^2-3)^2\)か\((x^2+3)^2\)のどちらかに因数分解しそうだな』
みたいに予想するのもええで。
実践！
因数分解せよ。
(1) \(x^4+64\)
(2) \(x^4-3x^2y^2+9y^4\)
(3) \(x^4-5x^2+4\)
(1) \(16x^2\)を足して引く。
\(x^4+16x^2+64-16x^2\)
\(=(x^2+8)^2-(4x)^2\)
\(=(x^2+8+4x)(x^2+8-4x)\)
\(=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8)\)
よって \((x^2+4x+8)(x^2-4x+8)\)
(2) \(9x^2y^2\)を足して引く。
\(x^4-3x^2y^2+9y^4+9x^2y^2-9x^2y^2\)
\(=x^4+6x^2y^2+9y^4-9x^2y^2\)
\(=(x^2+3y^2)^2-(3xy)^2\)
\(=(x^2+3y^2+3xy)(x^2+3y^2-3xy)\)
\(=(x^2+3xy+3y^2)(x^2-3xy+3y^2)\)
よって \((x^2+3xy+3y^2)(x^2-3xy+3y^2)\)
(3) \(x^2\)を足して引く。
\(x^4-5x^2+4+x^2-x^2\)
\(=x^4-4x^2+4-x^2\)
\(=(x^2-2)^2-(x)^2\)
\(=(x^2-2+x)(x^2-2-x)\)
\(=\{(x+2)(x-1)\}\{(x-2)(x+1)\}\)
\(=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\)
よって \((x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\)
(3)【別解】
\(A=x^2\)と置換する。
\(A^2-5A+4\)
\(=(A-1)(A-4)\)
\(=(x^2-1)(x^2-4)\)
\(=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\)
よって \((x+1)(x-1)(x+2)(x-2)\)
まとめ
それでは、まとめよう。
複2次式は、全ての項の次数が偶数の多項式のことで、置換するだけでは因数分解できない問題も多い。
だから、(2乗)-(2乗)のカタチをつくることで、和と差の積に因数分解できるんだね。
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