平方完成とは？裏ワザとともに原理をわかりやすく高校生が解説！

\begin{eqnarray}
x^2+4x+10 &=& (x^2+4x+4)+6\nonumber \\
&=& (x+2)^2+6\nonumber
\end{eqnarray}

よって、\((x+2)^2+6\)

展開すると、\(x^2-6x\)が登場する2乗の式について考える。

ここで、\((x-3)^2=\) \(x^2-6x\) \(+9\) より、平方完成でこの式を使うことができそうである。

\begin{eqnarray}
x^2-6x-3&=&x^2-6x+9-12 \nonumber\\
&=&(x-3)^2-12\nonumber
\end{eqnarray}

よって、\((x-3)^2-12\)

まず、\(x^2\)の係数である \(3\) で定数項以外をくくる。

$$3x^2+\dfrac{6}{5}x-1=3\left(x^2+\dfrac{2}{5}x\right)-1$$

ここで、平方完成した後のカタチを作る。
平方完成すると、\(\bigcirc(x+\Box)^2+\bigtriangleup\)

\(\bigcirc\)は、はじめにくくった \(x^2\) の係数 \(3\) になることが知られている。
\(\Box\)は、くくったあとの \(x\) の係数 \(\dfrac{2}{5}\) を半分にした \(\dfrac{1}{5}\) になることが知られている。

よって、平方完成すると$$3\left(x+\dfrac{1}{5}\right)^2+\bigtriangleup$$

\(\bigtriangleup=(元の式の定数項)-\bigcirc\times\Box^2\)となることが知られているから、

$$\bigtriangleup=-1-3\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=-\dfrac{28}{25}$$

したがって、\(3\left(x+\dfrac{1}{5}\right)^2-\dfrac{28}{25}\)

(1)
\begin{eqnarray}
&\quad&x^2+8x+2 \nonumber \\
&=&x^2+8x+16-14 \nonumber \\
&=&(x+4)^2-14 \nonumber
\end{eqnarray}

よって、\((x+4)^2-14\)

(2)
\begin{eqnarray}
&\quad&2x^2+12x+36 \nonumber \\
&=&2(x^2+6x)+36 \nonumber \\
&=&2(x+3)^2+36-2\times3^2 \nonumber \\
&=&2(x+3)^2+18 \nonumber
\end{eqnarray}

よって、\(2(x+3)^2+18\)

(3)
\begin{eqnarray}
&\quad&x^2+9x+13 \nonumber \\
&=&\left(x+\dfrac{9}{2}\right)^2+13-\left(\dfrac{9}{2}\right)^2 \nonumber \\
&=&\left(x+\dfrac{9}{2}\right)^2-\dfrac{29}{4} \nonumber
\end{eqnarray}

よって、\(\left(x+\dfrac{9}{2}\right)^2-\dfrac{29}{4}\)

(4)
\begin{eqnarray}
&\quad&-3x^2-3x-3 \nonumber \\
&=&-3(x^2+x)-3 \nonumber \\
&=&-3\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-3-(-3)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \nonumber \\
&=&-3\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4} \nonumber
\end{eqnarray}

よって、\(-3\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)