こんにちは。
Frontiesta代表の高校生Daddyです。
フィボナッチ数列の一般項が求めたいっっっっっ！というのが今回のテーマ。
フィボナッチ数列の一般項は、高校数学の範囲で求めることができます。
長ったらしく、わかりやすく解説していきます。
わかりやすい解説に、簡潔さは要らねえええ！
それでは早速、Let’s go!
フィボナッチ数列とは
まずは、フィボナッチ数列の確認をしましょう。
フィボナッチ数列は、次のような数列です。
\(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots\)
えーと、どんな規則で並んでるんだっけ？
言葉で説明するのがちょっと難しいので、図で説明します。
2つの隣り合っている数を足すと、次の数になるような数列です。
これは、隣り合っている2ならどこの数でも必ず成り立っています。
これを数学っぽくまとめると、『n番目の数とn+1番目の数を足すと、n+2番目の数になる』ような数列となります。
これがフィボナッチ数列でした。
ここで、もう一歩踏み込みましょう。
これから一般項を求めるためには、フィボナッチ数列の漸化式を作っておく必要があります。
漸化式がわからないと、ここから先はちょっと厳しい。雰囲気だけ味わってな。
『n番目の数とn+1番目の数を足すと、n+2番目の数になる』という日本語を、そのまま数式にしてしまいましょう。
\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)
定義し忘れましたが、ここではフィボナッチ数列を \(\{a_n\}\) としています。
この漸化式は、隣接三項間漸化式なので、あらかじめ \(a_1, a_2\) を定義しておかなくてはなりませんね。
隣接三項間漸化式は、下の記事で解説しています。
今回は、\(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots\) としているので、\(a_1=1, a_2=1\) としておきましょう。
ここまでをまとめると、フィボナッチ数列は次のような数式で定めることができます。
フィボナッチ数列は、次のように定められる数列 \(\{a_n\}\) のことである。ただし、\(n=1,2,3,\cdots\) とする。
\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, \ a_1=1, \ a_2=1\)
フィボナッチ数列の一般項
いよいよ、一般項を求めていきますよ！
初めに言っておきます。
計算が重いです。
結果だけ見てみましょうか。こんな感じ。
フィボナッチ数列の一般項
$$\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$$
え、エグくないか？？？汚いなあ。
いや、この数式は美しいやろ。
感性は人それぞれですが、ちょっとやそっとの努力で導けるものではありませんね。
一方、この公式には黄金比が登場しています。
\(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) っていうヤツですね。
計算ミスしていたら、黄金比が出てこなくなるので、その点ではわかりやすいかも。
とにかく頑張るのみ。
特性方程式を解く
まずは特性方程式を解くことを考えましょう。
漸化式の係数をそのまま2次方程式の係数にすればよかったよね。
今回は、\(x^2=x+1\) を解くことになります。
変形して、\(x^2-x-1=0\) とします。
2次方程式の解の公式を使いましょう。すると、
\(x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
この2解が得られます。
ちょっと長くて面倒なので、2解を \(\alpha, \beta\) で書き表しましょうか。
\(\alpha = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, \beta = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) と置きます。
あー、勝手にラクしてるー！
ちゃうわ。これは計算ミスを防ぐテクニックなんやで。
いや、ラクしてることには変わらないし。
これで、\(x= \alpha, \beta\) と特性方程式を解くことができました。
2つの等比数列の漸化式を解く
特性方程式が解けたので、次は等比数列の漸化式を解いていきます。
解が2つになったので、等比数列の漸化式は2つできます。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2}- \alpha a_{n+1}= \beta (a_{n+1}- \alpha a_n) \\
a_{n+2}- \beta a_{n+1}= \alpha (a_{n+1}- \beta a_n)
\end{array}
\right.\notag
\end{eqnarray}
いやー、文字多くてわかんねー
え？笑
じゃあ元に戻してみよか？
もし、さっきの式の意味が分からなければ、一旦戻しても構いませんが…
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+2}- \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_{n+1}= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} (a_{n+1}- \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_n) \\
a_{n+2}- \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} a_{n+1}= \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} (a_{n+1}- \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} a_n)
\end{array}
\right.\notag
\end{eqnarray}
↑横スクロール可能
ああ、余計分かりにくくなった…
な？文字って偉大やろ？
ということで、\(\alpha, \beta\) を使ったまま一旦計算してみたいと思います。
ここからの計算過程は、ぜひ皆さんご自身の手でやってみてください。
答えを隠しておきます。クリックすると開きます。
(1) 1つ目の式 \(a_{n+2}- \alpha a_{n+1}= \beta (a_{n+1}- \alpha a_n)\) について考える。
\(b_n=a_{n+1}- \alpha a_n\) とおくと、\(b_{n+1}=\beta b_n\) となり、等比数列になる。
\(b_1=a_2- \alpha a_1=1-\alpha\) より、\(\{b_n\}\) は初項\(1-\alpha\)、公比\(\beta\)の等比数列である。
したがって、\(b_n = (1- \alpha) \beta ^{n-1}\)
ゆえに、\(a_{n+1}- \alpha a_n = (1- \alpha) \beta ^{n-1}\)
(2) 2つ目の式 \(a_{n+2}- \beta a_{n+1}= \alpha (a_{n+1}- \beta a_n)\) について考える。
\(c_n=a_{n+1}- \beta a_n\) とおくと、\(c_{n+1}=\alpha c_n\) となり、等比数列になる。
\(c_1=a_2- \beta a_1=1-\beta\) より、\(\{c_n\}\) は初項\(1-\beta\)、公比\(\alpha\)の等比数列である。
したがって、\(c_n = (1- \beta) \alpha ^{n-1}\)
ゆえに、\(a_{n+1}- \beta a_n = (1- \beta) \alpha ^{n-1}\)
これらの計算過程を踏まえると、次のようになりますね。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{n+1}- \alpha a_n = (1- \alpha) \beta ^{n-1} \ \cdots (1)\\
a_{n+1}- \beta a_n = (1- \beta) \alpha ^{n-1} \ \cdots (2)
\end{array}
\right.\notag
\end{eqnarray}
数学サイトに書かれてある数式は、読むだけやなくて手を動かしながら理解してな。
主体的な学び、大事！
あとは、(1)と(2)を連立させて \(a_n\) を求めるだけです。
(1)-(2)をすると、\(a_{n+1}\) を消去できます。
ちょっと整理してあげると、
\((\beta-\alpha) a_n = (1- \alpha) \beta ^{n-1} – (1- \beta) \alpha ^{n-1}\)
だいぶスッキリしてきました。
あとは、\(\alpha, \beta\) を元に戻してあげれば良さそうです。
ここでも計算テクニックはないの？
計算テクニックとまではいきませんが、ミスを防ぐために一部を先に計算するのはおすすめです。
今回でいえば、次の色のついた3箇所は先に計算した方が良さそうですね。
$$\color{black}{(} \color{red}{\beta-\alpha} \color{black}{ ) a_n = (} \color{red}{1- \alpha} \color{black}{) \beta ^{n-1} – ( } \color{red}{ 1- \beta} \color{black}{) \alpha ^{n-1}}$$
ということで、計算結果は次のようになります。
\begin{eqnarray}
\beta-\alpha &=& \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\nonumber\\
&=& \sqrt{5}\nonumber\\
\nonumber\\
1-\alpha &=& 1-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\nonumber\\
&=& \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\nonumber\\
&=& \beta\nonumber\\
\nonumber\\
1-\beta &=& 1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\nonumber\\
&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\nonumber\\
&=& \alpha\nonumber\\
\end{eqnarray}
なかなか綺麗にまとまりました。
\(1-\alpha = \beta\) などは、対称性や解と係数の関係からも導けます。
さて、この3つをもとの式に代入しましょう。
\(\sqrt{5}a_n = \beta \cdot \beta ^{n-1}-\alpha \cdot \alpha ^{n-1}\)
こんなにスッキリするなんて、驚きだね！
苦労が報われる瞬間やな。
\(a_n\) について整理したら、ゴールも目前です！
\(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\beta^n-\alpha^n)\)
ということで、\(a_n\) の一般項がついに求まりました！
\(a_n = \color{red}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}}\) となります！
こんなぐちゃぐちゃの式でも、\(1,1,2,3,5,8,\cdots\) って自然数の値になるんだね。
まとめ
いかがだったでしょうか？
今回は、フィボナッチ数列の一般項を求める、というテーマで1記事を仕上げました。
私もとうとう大学受験生になり、本来こんな記事を書いている場合ではないのですが、これからも頑張りたいと思います！
ほんまに何をしてんねやろ…
応援コメントなどいただけると、励みになります。
それではっ！
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