二次方程式　解き方確認編

こんにちは、popoikです。

今回は2次方程式の解き方について説明したいと思います。

Contents

2次方程式とは
2次方程式の解き方
2次方程式の鉄則
まとめ

popoik

これといった特徴のないただの中学生だったが、受験勉強を通して数学が覚醒してしまったらしい。日常生活では絶望的なレベルの怠惰さで他者を圧倒している…かもしれない。自己紹介の内容募集中‼

2次方程式とは

2次方程式とは、展開した時の最高次の指数が2である方程式です。例えば…

$x^2-1=0 , 3x^2-6x+9=0 $
$ x^2=16 ,(x-1)(x-7)=0 $などです。

それではどのようにしたら2次方程式が解けるのでしょうか…

2次方程式の解き方

2次方程式の解き方には3つの解き方があります。

解き方

1. 因数分解を利用 $(x-a)(x-b)=0　x=a,b $

2. 平方根の知識の利用 $(x-a)^2=b　→　x=a\pm \sqrt{b}$

3. 解の公式
$ax^2+bx+c=0　→　x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

4. たすきがけ

「たすきがけ」については、下の記事で紹介しています。

因数分解とは？たすきがけってナニ？現役高校生がわかりやすく解説！

因数分解とは、たし算やひき算が混ざった式を『かけ算』の式に直すことです。展開の逆演算ということができます。因数分解は、1.共通因数をくくり出す、2.乗法公式を利用する、の順に行なっていきます。たすきがけは

解に公式を用いることで全ての2次方程式を解くことができますが、見てわかるように計算が煩雑なため計算ミスをしやすいです。

そのため必ず解の公式は最終手段として使いましょう。

因数分解を用いた解き方(x-a)(x-b)=0

$$(x-a)(x-b)=0　→　x=a,b $$

$$例）x^2-3x+10=0　→　(x-2)(x-5)=0　→　x=2,5 $$

この方法では、以前習得した因数分解を使って解きます。

数をすべて片方の辺に移行して、因数分解をしたら

(x-a)(x-b)=0のような式ができると思います。次に、下記のように場合分けをします。

場合分け

$x-a=0$ の場合
$x-a=0$ つまり $x=a$
$x-b=0$ の場合
$x-b=0$ つまり $x=b$

よって答えは$x=a, b$

平方根を用いた解き方

$$(x-a)^2=b　→　x=a\pm \sqrt{b}$$

この解き方は、2次方程式が$(x-a)^2=b$の形になっているときにのみ用います。

一度展開して右辺を0にしてから解くこともできますが、このように解いた方が圧倒的に早いです。

また、右辺の答えが$a$$\pm$$\sqrt{b}$となることに注意しましょう。

解の公式を用いた解き方

$$ax^2+bx+c=0　→　x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

解の公式を用いるとすべての2次方程式が解けます。

しかし、先ほども言ったように、解の公式は、計算ミスをしやすいうえに、あっているのか確かめにくいためできるだけ使わずに、ほかの方法が使えないか試してみましょう。

2次方程式の鉄則

2次方程式を解く際には鉄則があります。

鉄則

・決まった順番で解き方を考える。　

$(x-a)^2=b$の形であるか。
０以外の数で割り切れるか　
例）$4x^2+16x+16=0 \iff x^2+4x+4$
因数分解できるか。
「たすきがけ」ができるか。
解の公式を用いる。

→これを意識するだけで、かなり早く解くことができます。

・答えの平方根の中身が負になったときは、今のところは「実数解なし」と書く。
→高校数学の複素数の単元で答えが出せるようになります。

・ある程度解を予想しておく。
→予想と大きく外れた時に解きなおすきっかけとなります。

これらを意識して次の問題を解いてみましょう。

練習問題

次の方程式をxについて解け

（１）$x^2+5x+6=0$

（２）$(x-4)^2=9$

（３）$(x-5)(x-15)=0$

（４）$-3x^2+3x+6=0$

（５）$x^2+5x-1=0$

（６）$(x-4)^2+4(x-4)+4=0$

答え

次の方程式をxについて解け
\begin{split}
(1)　\ x^2+5x+6&=0\\//因数分解をする\\
(x+2)(x+3)&=0\\
x&=-2,-3
\end{split}

\begin{split}
(2)　(x-4)^2&=9\\
(x-a)^2=b&の形であるから\\
x-4&=\pm3\\
x&=4\pm3\\
x&=7,1
\end{split}

\begin{split}
(3)　(x-5)(x-15)&=0\\
x&=5,15
\end{split}

\begin{split}
(4)　-3x^2+3x+6&=0\\//-3で割る\\
x^2-x-2&=0\\//因数分解をする\\
(x-2)(x+1)&=0\\
x&=2,-1
\end{split}

\begin{split}
(5)　x^2+5x-1&=0\\
//因数分解がで&きないから解の公式を使う\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{29}}{2}
\end{split}

\begin{split}
(6)　(x-4)^2+4(x-4)+4&=0\\
X=x-4と&置き換える\\
X^2+4X+4&=0\\//因数分解をす&る\\
(X+2)^2&=0\\
X=x-&4を戻す\\
(x-2)^2&=0\\
x&=2
\end{split}

まとめ

最後に二次方程式の解き方を復習しましょう。

解き方

1. 因数分解を利用 $(x-a)(x-b)=0　x=a,b $

2. 平方根の知識の利用 $(x-a)^2=b　→　x=a\pm \sqrt{b}$

3. 解の公式
$ax^2+bx+c=0　→　x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

4. たすきがけ

2次方程式の問題は例外なくこの解き方のどれかで解くことができます。

素早く・楽に解くためにも様々な方法で解けるようにしましょう。

それではまたどこかの記事で会いましょう。

よく出てくる2次方程式　解き方確認編