こんにちは、popoikです。
今回は2次方程式の解の公式について説明したいと思います。
この記事は下の記事の補足に近い形です。
解の公式とは
解の公式は…
$$ax^2+bx+c=0\\
\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
というものでしたね。
解の公式はどんな二次方程式でも求められる一方でとても複雑な形です。
それではどうして解の公式はこんなにも複雑な形をしているのでしょうか？
解の公式の証明
解の公式の導出の仕方するには平方完成という考え方を用います。
\begin{split}
ax^2+bx+c&=0(a≠０)\\
a(x+\frac{b}{2a})^2&=-c+\frac{b^2}{4a}\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
x+\frac{b}{2a}&=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{split}
このようにすると二次方程式の解の公式を求めることができます。
自分の力で一度証明してみると公式も覚えやすくなると思います。
とにかく手を動かして覚えましょう。
xの係数が偶数時の解の公式
解の公式はとても煩雑で計算ミスをしやすいですが、xの係数が偶数の時に限っては少し楽に計算をすることができます。
\begin{split}
ax^2+&2b’x+c=0(a≠0)\\\\
x=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a}
\end{split}
この時注意してほしいのは、b’は実際の式のxの係数の半分の値であるということです。
なぜこの式が言えるかというと…
\begin{split}
ax^2+&2bx+c=0(a≠0)\\解の&公式を用いる。\\
x=&\frac{-2b\pm\sqrt{4b^2-4ac}}{2a}\\
=&\frac{-2b\pm\sqrt{4(b^2-ac)}}{2a}\\
=&\frac{-2b\pm2\sqrt{b^2-ac}}{2a}\\
=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a}
\end{split}
この公式は必須というわけではありませんが、覚えていると計算を楽に早くすることができます。
練習問題
解の公式を覚えるためにも次の問題を解きましょう。
次の方程式を解け。
\((1) x^2+5x-3=0\)
\((2) 6x^2+33x-3=0\)
\((3) x^2+6x+5=0\)
\((4) x^2-8x-3=0\)
(1) 解の公式を用いる
\begin{flalign}
x^2+5x-3&=0\nonumber\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2}\nonumber
\end{flalign}
(2) \(6x^2+33x-3=0\) を3で割る
\begin{flalign}
2x^2+11x-1&=0\nonumber\\
x&=\frac{-11\pm\sqrt{129}}{4}\nonumber
\end{flalign}
(3)\(6x^2+6x+5=0\)
因数分解をする
\begin{flalign}
&(x+5)(x+1)=0&\nonumber\\
&x=-5,-1&\nonumber
\end{flalign}
(4)\(x^2-8x-3=0\)
8は偶数だから…
$$x=4\pm\sqrt{19}$$
(3)で因数分解ではなく解の公式を使ってしまった人も多いのではないでしょうか。
そのような人は、二次方程式の解き方の順番を復習しましょう。
1. 因数分解を利用 \((x-a)(x-b)=0 x=a,b \)
2. 平方根の知識の利用 \((x-a)^2=b → x=a\pm \sqrt{b}\)
3. 解の公式
\(ax^2+bx+c=0 → x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
4. たすきがけ
まとめ
解の公式はxの係数が偶数かそれ以外かで分けることができます。
偶数以外の時$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
偶数の時$$x=\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$$
解の公式はとても複雑で覚えにくいですが、どの単元でも必須に近いです。
覚えられていない人は何度も使う練習をして一生忘れないようにしましょう。
それではまたどこかの記事で。
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